Question

17．如图在平面直角坐标系中，直线l₁：y=-$\frac{1}{2}$x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l₂：y=kx+2k与x轴交于点C，与直线l₁交于点P．
（1）直线l₂是否经过x轴上一定点？若经过，请直接写出定点坐标；若不经过，请说明理由；
（2）若S_△ACP=8，求直线l₂的函数关系式；
（3）过点M（0，6）作平行于x轴的直线l₃，点Q为直线l₃上一个动点，当△QAB为等腰三角形时，求所有点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）由y=kx+2k得到y=k（x+2），无论k取何值时，当x=-2时，y=0，故此直线y=kx+2k经过x轴上定点（-2，0）；
（2）令y₁=0得到-$\frac{1}{2}$x+3=0，解得x=6，故此A（6，0），由（1）可知点C的坐标为（-2，0），故此AC=8，由三角形的面积公式可知P_y=2，将y=2代入y=-$\frac{1}{2}×$+3，求得x=2，于是得到点P的坐标为（2，2），将点P的坐标代入y=kx+2k可求得k的值；
（3）将x=0代入y=-$\frac{1}{2}$x+3得到y=3，从而得到点B的坐标为（0，3），设点Q的坐标为（n，6），分别根据QB=QA；BQ=BA；AB=AQ以及两点间的距离公式列出关于n的方程，从而可解得n的值．

解答 解：（1）∵y=kx+2k，
∴y=k（x+2）．
∴当x=-2时，y=0．
∴直线L₂经过点（-2，0）．
（2）∵令y₁=0得到-$\frac{1}{2}$x+3=0，解得x=6，
∴A（6，0）．
∵由（1）可知：点C的坐标为（-2，0）．
∴AC=8．
∵S_△ACP=8，
∴$\frac{1}{2}×AC×{P}_{y}$=8，即$\frac{1}{2}×8×{P}_{y}$=8．
解得：P_y=2．
∵将y=2代入-$\frac{1}{2}$x+3=0得：-$\frac{1}{2}$x+3=2，解得x=2，
∴点P的坐标为（2，2）．
将点P的坐标代入y=kx+2k得：2k+2k=2，解得：k=$\frac{1}{2}$．
∴直线L₂的解析式为$y=\frac{1}{2}x+1$．
（3）∵将x=0代入y=-$\frac{1}{2}$x+3得：y=3，
∴点B的坐标为（0，3）．
设点Q的坐标为（n，6）．
①当QB=QA时，由两点间的距离公式得：n²+（6-3）²=（6-n）²+（6-0）²．
解得：n=$\frac{21}{4}$．
∴点Q的坐标为（$\frac{21}{4}$，6）．
②当BQ=BA时，由两点间的距离公式得：n²+（6-3）²=（6-0）²+（3-0）²．
解得：n=6或n-6．
∴点Q的坐标为（6，6）或（-6，6）．
∵将Q（-6，6）代入y=-$\frac{1}{2}x+3$得：y=-$\frac{1}{2}×$（-6）+3=6，
∴点Q在直线AB上，此时A、B、Q不能构成三角形．
∴Q（-6，6）（舍去）．
∴点Q的坐标为（6，6）．
③当AB=AQ时，由两点间的距离公式得：（n-6）²+（6-0）²=（6-0）²+（3-0）²．
解得：n=9或n=3．
∴点Q的坐标为（9，6）或（3，6）．
综上所述，点Q的坐标为（9，6）或（3，6）或（6，6）或（$\frac{21}{4}，6$）．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特点、两点间的距离公式、等腰三角形的性质、三角形的面积公式，根据两点间的距离公式列出关于n的方程是解题的关键．