Question

19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，FE垂直平分BC交BC于点D，交AB于点E，连结CE、CF，且CF=BE．
（1）求证：四边形BECF是菱形．
（2）若菱形BECF是正方形，直接写出∠A的度数．

Answer 1

分析 （1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，因为CF=BE，BE=EC=BF=FC，所以四边形BECF是菱形；
（2）由菱形的性质知，对角线平分一组对角，由菱形为正方形，根据直角三角形中两个角锐角互余得：∠A=45度．

解答 （1）证明：∵EF垂直平分BC，
∴BF=CF，BE=CE．                     
∵CF=BE，
∴BE=CE=CF=BF．           
∴四边形BECF是菱形．                  
（2）∠A=45°，
理由如下：
∵菱形BECF是正方形，
∴∠EBF=90°，
∴∠EBC=∠FBC=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠EBC=45°．

点评 本题考查了菱形的判定和性质以及正方形的性质，特别是菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．