Question

4．如图，点A，B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，且△BNC的面积为4，则k值为16．

Answer 1

分析 由BN∥AM可判断△CNB∽△CMA，根据相似的性质得S_△CNB：S_△CMA=（$\frac{CN}{CM}$）²=$\frac{1}{4}$，则S_△CMA=16，由于OM=MN=NC，根据三角形面积公式得到S_△AOM=$\frac{1}{2}$S_△AMC=8，然后根据反比例函数k的几何意义得到S_△AOM=$\frac{1}{2}$|k|=8，再去绝对值易得k的值．

解答 解：∵BN∥AM，MN=NC，
∴△CNB∽△CMA，
∴S_△CNB：S_△CMA=（$\frac{CN}{CM}$）²=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
而S_△BNC=4，
∴S_△CMA=16，
∵OM=MN=NC，
∴OM=$\frac{1}{2}$MC，
∴S_△AOM=$\frac{1}{2}$S_△AMC=8，
∵S_△AOM=$\frac{1}{2}$|k|，
∴$\frac{1}{2}$|k|=8，
∴k=16．
故答案为16．

点评 本题考查了反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．也考查了相似三角形的判定与性质．