Question

【题目】如图，已知二次函数y1=ax2+bx过（﹣2，4），（﹣4，4）两点．
（1）求二次函数y1的解析式；
（2）将y1沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y2 ， 直线y=m（m＞0）交y2于M、N两点，求线段MN的长度（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，y1、y2交于A、B两点，如果直线y=m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于C、D两点（C在左侧），直线y=﹣m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于E、F两点（E在左侧），求证：四边形CEFD是平行四边形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函数y1=ax2+bx过（﹣2，4），（﹣4，4）两点，

∴ 解得 ，

∴二次函数y1的解析式y1=﹣ x2﹣3x

（2）

解：∵y1=﹣ （x+3）2+ ，

∴顶点坐标（﹣3， ），

∵将y1沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y2，

∴抛物线y2的顶点坐标（﹣1，﹣ ），

∴抛物线y2为y= （x+1）2﹣ ，

由 消去y整理得到x2+2x﹣8﹣2m=0，设x1，x2是它的两个根，

则MN=|x1﹣x2|= =

（3）

解：由 消去y整理得到x2+6x+2m=0，设两个根为x1，x2，

则CD=|x1﹣x2|= = ，

由 消去y得到x2+2x﹣8+2m=0，设两个根为x1，x2，

则EF=|x1﹣x2|= = ，

∴EF=CD，EF∥CD，

∴四边形CEFD是平行四边形．

【解析】（1）根据待定系数法即可解决问题；
（2）先求出抛物线y2的顶点坐标，再求出其解析式，利用方程组以及根与系数关系即可求出MN；
（3）用类似（2）的方法，分别求出CD、EF即可解决问题．本题考查二次函数综合题、根与系数关系、平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，记住公式|x1﹣x2|= ，属于中考压轴题．
【考点精析】掌握平行四边形的判定是解答本题的根本，需要知道两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．