【题目】如图所示,平面直角坐标系中,抛物线经过
、
、
.过点
作
轴交抛物线于点
,过点
作
轴,垂足为点
.点
是四边形
的对角线的交点,点
在
轴负半轴上,且
.
(1)求抛物线的解析式,并直接写出四边形的形状;
(2)当点、
从
、
两点同时出发,均以每秒
个长度单位的速度沿
、
方向运动,点
运动到
时
、
两点同时停止运动.设运动的时间为
秒,在运动过程中,以
、
、
、
四点为顶点的四边形的面积为
,求出
与
之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)在抛物线上是否存在点,使以
、
、
、
为顶点的四边形是梯形?若存在,直接写出点
的坐标;不存在,说明理由.
【答案】(1),四边形
为正方形;(2)当
时,
;当
时,
;(3)在抛物线上存在点
,
,
,
,使以
、
、
、
为顶点的四边形是梯形.
【解析】
(1)由抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,4)、B(-2,0)、C(6,0)三点,把三点坐标代入抛物线表达式中,联立方程解出a、b、c;
(2)过M作MN⊥OE于N,则MN=2,由题意可知CP=FQ=t,当0≤t<2时,OP=6-t,OQ=2-t,列出S与t的关系式,当t=2时,Q与O重合,点M、O、P、Q不能构成四边形,当2<t<6时,连接MO,ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°,可证三角形全等,进而计算出三角形面积;
(3)若B、C、F、N为顶点的四边形是梯形,则四边形有两边平行,设出N点的坐标,分类讨论两边平行时N点坐标满足的条件,进而求出N点坐标.
解:(1)∵抛物线经过、
、
,
∴,
,
解得,
,
.
∴抛物线的解析式为.
四边形为正方形.
(2)连接.
根据题意,可知,
,
∴,
∴,
∵运动的时间为,
∴,
过作
于
,则
,
当时,
,
,
∴,
∴.
当时,
与
重合,点
、
、
、
不能构成四边形,
当时,连接
,
则
且
,
∵,
,
∴,
∴,
∴四边形的面积
,
综上所述,当时,
;当
时,
.
(3)分三种情况:
①以为底边时,经过点
作
的平行线,与抛物线交于点
的坐标为
;
②以为底边时,经过点
作
的平行线,与抛物线交于点
的坐标为
;
③以为底边时,经过点
作
的平行线,与抛物线交于点
的坐标为
或
.
故在抛物线上存在点,
,
,
,
使以、
、
、
为顶点的四边形是梯形.
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【题目】如图,直线y=x+b与x轴交于点A,与y轴于点B,点C(﹣2,0)在线段OA上,且OC=OA.
(1)求b的值;
(2)点P是直线y=x+b上一动点,连接PC,PO,求PC+PO的最小值.
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AB=10.点Q与点B在AC的同侧,且AQ⊥AC.
(1)如图1,点Q不与点A重合,连结CQ交AB于点P.设AQ=x,AP=y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)是否存在点Q,使△PAQ与△ABC相似,若存在,求AQ的长;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,过点B作BD⊥AQ,垂足为D.将以点Q为圆心,QD为半径的圆记为⊙Q.若点C到⊙Q上点的距离的最小值为8,求⊙Q的半径.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:
①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④当x>﹣1时,y的值随x值的增大而增大;⑤当函数值y<0时,自变量x的取值范围是x<-1或x>5.
其中正确的结论有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】在△ABC中,∠ACB=50°,CE为△ABC的角平分线,AC边上的高BD与CE所在的直线交于点F,若∠ABD:∠ACF=3:5,则∠BEC的度数为______.
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【题目】2019年8月,第18届世界警察和消防员运动会在成都举行.我们在体育馆随机调查了部分市民当天的观赛时间,并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图,根据图中信息完成下列问题:
(1)将条形统计图补充完整;
(2)求抽查的市民观赛时间的众数、中位数;
(3)求所有被调查市民的平均观赛时间.
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【题目】二次函数(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是
A. a>0 B. 当﹣1<x<3时,y>0
C. c<0 D. 当x≥1时,y随x的增大而增大
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【题目】如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点.
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形;
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形,使三角形三边长分别为2、、
;
(3)如图3,点A、B、C是小正方形的顶点,求∠ABC的度数.
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【题目】如图,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN( )
A.AM=CNB.AB=CD C.AM∥CN D.∠M=∠N
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