Question

【题目】如图，正方形OABC的顶点O是坐标原点，边OA和OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，4）．直线l经过点C．

（1）若直线l与边OA交于点M，过点A作直线l的垂线，垂足为D，交y轴于点E．

①如图1，当OE＝1时，求直线l对应的函数表达式；

②如图2，连接OD，求证：OD平分∠CDE．

（2）如图3，若直线l与边AB交于点P，且S△BCP＝S四边形AOCP，此时，在x轴上是否存在点Q，使△CPQ是以CP为直角边的直角三角形？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①y＝﹣4x+4；②见解析；（2）存在，点Q（3，0）或（﹣2，0）

【解析】

（1）①由题意可求点A，点C坐标，用待定系数法可求直线AE解析式，由AE⊥直线l，可设直线l的解析式为y＝﹣4x+m，将点C坐标代入，可求直线l的解析式；

②连接AC，由∠AOC＝∠ADC＝90°，可得点C，点A，点D，点O四点共圆，可得∠CAO＝∠ODC＝45°，即OD平分∠CDE；

（2）分∠PCQ＝90°和∠CPQ＝90°两种情况讨论，根据全等三角形的性质和相似三角形的性质可求点Q的坐标．

解：（1）①∵四边形OABC是正方形，点B（4，4）

∴点A（4，0），点C（0，4），

∴AO＝CO＝AB＝BC＝4，

∵OE＝1

∴点E（0，﹣1）

设直线AE解析式为：y＝kx+b，

∴

解得：k＝，b＝﹣1，

∴直线直线AE解析式为y＝x﹣1，

∵AE⊥直线l，

∴设直线l的解析式为y＝﹣4x+m，且过点C（0，4）

∴m＝4，

∴直线l的解析式为y＝﹣4x+4

②如图，连接AC，

∵四边形OABC是正方形，

∴∠COA＝90°，∠CAO＝45°，

∵∠COA＝∠CDA＝90°，

∴点C，点A，点D，点O四点共圆，

∴∠CAO＝∠ODC＝45°

∴∠ODC＝∠CDE

∴OD平分∠CDE

（2）存在

∵S△BCP＝S四边形AOCP，

∴S△BCP＝S正方形OABC，

∴×4×BP＝×4×4，

∴BP＝2，

∴AP＝AB﹣BP＝2，

如图，若∠PCQ＝90°，

∴∠QCO+∠OCP＝90°，

又∵∠BCO＝∠BCP+∠OCP＝90°，

∴∠QCO＝∠BCP，且BC＝CO，∠COQ＝∠B＝90°，

∴△BCP≌△OCQ（ASA）

∴BP＝OQ＝2

∴点Q（﹣2，0）

如图，若∠CPQ＝90°，

∴∠APQ+∠BPC＝90°，

又∵∠BPC+∠BCP＝90°，

∴∠BCP＝∠APQ，且∠B＝∠PAQ＝90°，

∴△APQ∽△BCP

∴

∴

∴AQ＝1，

∴OQ＝AO﹣AQ＝3，

∴点Q（3，0）

综上所述：点Q（3，0）或（﹣2，0）