Question

6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为5，圆心P坐标是（5，a）（a＞5），函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4$\sqrt{6}$，则a的值是5+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=5，PC=a，易得D点坐标为（5，5），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{6}$，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=$\sqrt{2}$PE=$\sqrt{2}$，所以a=5+$\sqrt{2}$．

解答 解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（5，a），
∴OC=5，PC=a，
把x=5代入y=x得y=5，
∴D点坐标为（5，5），
∴CD=5，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{6}$=2$\sqrt{6}$，
在Rt△PBE中，PB=5，
∴PE=$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{6}）^{2}}$=1，
∴PD=$\sqrt{2}$PE=$\sqrt{2}$，
∴a=5+$\sqrt{2}$．
故答案为：5+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆的综合题，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．