Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标为x₁、x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，则下列结论：
①abc＞0，②4a-2b+c＜0，③b²+8a＞4ac，④当x＞0时，函数值随x的增长而减少，⑤当x₁＜x＜x₂时，则y＜0．其中正确的是

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：根据图象的对称轴和图象与图象的开口方向得出a，b，c的符号即可得出①正确，当x=-2时，由函数值可得出结论②正确，由对称轴大于-1可知④正确，⑤错误，将点（-1，2）代入y=ax²+bx+c中得出a、b、c的数量关系，再根据对称轴大于-1得到不等式，将此不等式变形后知结论③正确．

解答：解：∵图象开口向下，则a＜0，
∵图象对称轴在y轴左侧，则a，b同号，即b＜0，
图象与y轴交于y轴正半轴，故c＞0，
故abc＞0，故①正确；
当x=-2时，函数值小于0，
即4a-2b+c＜0，故②正确；
由-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，可知对称轴x=-

b

2a

＞-1，且a＜0，
∴2a＜b，即2a-b＜0，
将点（-1，2）代入y=ax²+bx+c中，得a-b+c=2，即c=2-a+b，
由2a-b＜0，则（2a-b）²＞0，
即b²＞-4a²+4ab，
∴b²+8a＞8a-4a²+4ab=4a（2-a+b）=4ac，
故③正确；
根据对称轴右侧都是函数值随x的增长而减少，
又∵x=-

b

2a

＞-1，
∴当x＞0时，函数值随x的增长而减少，故④正确；
根据图象可得出，当x₁＜x＜x₂时，y＞0，故⑤错误；
故答案为：①②③④．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．关键是根据图象得出开口方向、对称轴、与坐标轴的交点与系数的关系，自变量取±1，±2时的函数值的符号，利用所得的等式或不等式变形．