Question

【题目】已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）与x轴相交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．

（1）当A（﹣1，0），C（0，﹣3）时，求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点．

①当点P关于原点的对称点P′落在直线BC上时，求m的值；

②当点P关于原点的对称点P′落在第一象限内，P′A2取得最小值时，求m的值及这个最小值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①m=；②P′A2取得最小值时，m的值是，这个最小值是．

【解析】

（1）根据A（﹣1，0），C（0，﹣3）在抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的图象上，可以求得b、c的值；

（2）①根据题意可以得到点P′的坐标，再根据函数解析式可以求得点B的坐标，进而求得直线BC的解析式，再根据点P′落在直线BC上，从而可以求得m的值；

②根据题意可以表示出P′A2，从而可以求得当P′A2取得最小值时，m的值及这个最小值．

（1）∵抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；

（2）①由P（m，t）在抛物线上可得：t=m2﹣2m﹣3．

∵点P和P′关于原点对称，∴P′（﹣m，﹣t），当y=0时，0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，由已知可得：点B（3，0）．

∵点B（3，0），点C（0，﹣3），设直线BC对应的函数解析式为：y=kx+d，，解得：，∴直线BC的直线解析式为y=x﹣3．

∵点P′落在直线BC上，∴﹣t=﹣m﹣3，即t=m+3，∴m2﹣2m﹣3=m+3，解得：m=；

②由题意可知，点P′（﹣m，﹣t）在第一象限，∴﹣m＞0，﹣t＞0，∴m＜0，t＜0．

∵二次函数的最小值是﹣4，∴﹣4≤t＜0．

∵点P（m，t）在抛物线上，∴t=m2﹣2m﹣3，∴t+3=m2﹣2m，过点P′作P′H⊥x轴，H为垂足，有H（﹣m，0）．

又∵A（﹣1，0），则P′H2=t2，AH2=（﹣m+1）2．在Rt△P′AH中，P′A2=AH2+P′H2，∴P′A2=（﹣m+1）2+t2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=（t+）2+，∴当t=﹣时，P′A2有最小值，此时P′A2=，∴=m2﹣2m﹣3，解得：m=．

∵m＜0，∴m=，即P′A2取得最小值时，m的值是，这个最小值是．