Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，-2），直线x=m（m＞2）与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x=m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将点A（1，0），B（2，0），C（0，-2）代入二次函数y=ax²+bx+c中，得
解得a=-1，b=3，c=-2．
∴y=-x²+3x-2．

（2）∵AO=1，CO=2，BD=m-2，
当△EDB∽△AOC时，得=，
即=，解得ED=，
∵点E在第四象限，
∴E₁（m，），
当△BDE∽△AOC时，=时，即=，
解得ED=2m-4，
∵点E在第四象限，
∴E₂（m，4-2m）；

（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则
EF=AB=1，点F的横坐标为m-1，
当点E₁的坐标为（m，）时，点F₁的坐标为（m-1，），
∵点F₁在抛物线的图象上，
∴=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴2m²-11m+14=0，
∴（2m-7）（m-2）=0，
∴m=，m=2（舍去），
∴F₁（，-），
当点E₂的坐标为（m，4-2m）时，点F₂的坐标为（m-1，4-2m），
∵点F₂在抛物线的图象上，
∴4-2m=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴m²-7m+10=0，
∴（m-2）（m-5）=0，∴m=2（舍去），m=5，
∴F₂（4，-6）．
分析：（1）将点A（1，0），B（2，0），C（0，-2）代入二次函数y=ax²+bx+c中，列方程组求a、b、c即可；
（2）因为D、O分别为两个直角三角形的顶点，可分为△EDB∽△AOC，△BDE∽△AOC两种情况，利用相似比求ED，确定E点坐标；
（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，EF=AB=1，点F的横坐标为m-1，分为①当点E₁的坐标为（m，）时，点F₁的坐标为（m-1，），②当点E₂的坐标为（m，4-2m）时，点F₂的坐标为（m-1，4-2m），两种情况，分别代入抛物线解析式求m的值，确定F点的坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是求二次函数解析式，利用相似三角形，平行四边形的性质，列方程求解．