Question

【题目】如图，平面直角坐标系中有三点。

（1）连接，若

①线段的长为 （直接写出结果）

②如图1，点为轴负半轴上一点，点为线段上一点，连接作,且,当点从向运动时，点不变，点随之运动，连接,求线段的中点的运动路径长;

（2）如图2，作,连接并延长，交延长线于于.若,且，在平面内是否存在点,使以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）① ② （2）

【解析】

（1）①由两点的距离公式可得出答案；

②分别作出点D运动到点A，B时的等腰直角三角形DCE，画出运动路径如图，求出E1，E2的坐标，即可求出E1E2的长，则答案可求出；

（2）连接BH，证明∠HBA＝45°，过点H作HN⊥AB，求出H点坐标，再根据平行四边形的性质可求出M点坐标．

（1）①∵A（3，0），C（4，1），

∴AC＝．

故答案为：．

②分别作出点D运动到点A，B时的等腰直角三角形DCE，画出运动路径如图，

∵C（4，1），△CAE1为等腰直角三角形，A,D重合，A（-3，0）

∴CD=AC==AE1

∴CE1=

∵CE1∥x轴

∴E1（2，1），

分别过点C，E2作x轴的垂线，垂足分别为M，N，

∵∠CBM＝∠BE2N，∠CMB＝∠BNE2，BC＝BE2，

∴△CMB≌△BNE2（AAS），

∴E2N＝BM＝5，CM＝BN＝1，

∴E2（2，5），

∴E1E2＝．

∵Q1Q2为△PE1E2的中位线，

∴线段EP的中点Q的运动路径长Q1Q2＝E1E2＝2．

（2）如图，连接BH，

∵AF⊥AC，GH⊥CF，

又A（3，0），B（1，0），BF＝BG，

∴BH＝GF＝AB＝4，

又∵∠C＝67.5°，

∴∠AGB＋∠CFB＝112.5°，

∴∠ABG＋∠HBF＝360°2（∠AGB＋∠CFB）＝135°，

即∠HBA＝45°，

过点H作HN⊥AB，∴△BHN是等腰直角三角形，

∴HN＝BN，

∴BH==HN

∴HN＝BN=BH=2，

∴H（12，2），

∵A（3，0），B（1，0），

如图，四边形ABM1H是平行四边形时，A平移至B的方式是：向右平移4个单位，

∴H点向右平移4个单位得到M1；

四边形ABH M2是平行四边形时，B平移至A的方式是：向左平移4个单位，

∴H点向右平移4个单位得到M2；

四边形AHBM3是平行四边形时，H平移至B的方式是：向右平移2个单位，向下平移2个单位，

∴A点向右平移2个单位，向下平移2个单位M3；

∴使以B，A，H，M为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标为．