[题目]如图.⊙O的弦AB＝4cm.点C为优弧上的动点.且∠ACB＝30°．若弦DE经过弦AC.BC的中点M.N.则DM+EN的最大值是 cm．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，⊙O的弦AB＝4cm，点C为优弧上的动点，且∠ACB＝30°．若弦DE经过弦AC、BC的中点M、N，则DM+EN的最大值是_____cm．

【答案】6．

【解析】

由点M、N分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出MN=AB为定值，则NE+DM=DE-MN，所以当MN取最大值时，DM+EN有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当DE为⊙O的直径时，可求得DM+EN的最大值．

当DE为⊙O的直径时，DM+EN有最大值；

当DE为直径时，M点与O点重合，

∴AC也是直径，AC=8cm，

∵∠ABC是直径所对的圆周角，

∴∠ABC=90°，

∵∠C=30°，AB=4cm，

∴AB=AC=8，

∵点M、N分别为AC、BC的中点，

∴MN=AB=2，

∴DM+EN=DE-MN=8-2=6，

故答案为：6．

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（2）连接CD，根据直径所对的圆周角是直角，即可得利用勾股定理即可求得的长，又由OE∥AB，证得根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的长，然后利用三角函数的知识，求得与的长，然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案．