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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证FG=
    12
    （AB+AC+BC）．
    若：（1）BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）；
    （2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图3），
    则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．
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    分析：（1）都是内角平分线时，可根据等腰三角形三线合一的特点来求解，由于DB平分∠ABC，且AF⊥BD，如果延长AF交BC于K，那么三角形ABK就是个等腰三角形，AF=FK，如果延长AG到H，那么同理可证AG=GH，AC=CH，那么GF就是三角形AHK的中位线，GF就是HK的一半，而HK=BK-BH=BK-（BC-CH），由于BK=AB，CH=AC，那么可得出FG=
    1
    2
    （AB+AC-BC）；
    （2）证法同（1）先根据题目给出的求法，得出GD是AC的一半，然后按（2）的方法，通过延长AF来得出DF是（BC-AB）的一半，由此可得出FG=
    1
    2
    （BC+AC-AB）．
    解答：精英家教网解：（1）猜想结果：如图结论为FG=
    1
    2
    （AB+AC-BC）
    证明：分别延长AG、AF交BC于H、K，
    在△BAF和△BKF中，
    ∵
    ∠ABD=∠FBK
    BF=BF
    ∠BFA=∠BFK
    ，
    ∴△BAF≌△BKF（ASA），
    ∴AF=KF，AB=KB
    同理可证，AG=HG，AC=HC
    ∴FG=
    1
    2
    HK
    又∵HK=BK-BH=AB+AC-BC
    ∴FG=
    1
    2
    （AB+AC-BC）

    （2）图3的结论为FG=
    1
    2
    （BC+AC-AB）．
    证明：分别延长AG、AF交BC或延长线于H、K
    在△BAF和△BKF中，精英家教网
    ∵
    ∠ABD=∠DBK
    BF=BF
    ∠BFA=∠BFK
    ，
    ∴△BAF≌△BKF（ASA），
    ∴AF=KF，AB=KB
    同理可证，AG=HG，AC=HC，
    ∴FG=
    1
    2
    KH
    又∵KH=BC-BK+HC=BC+AC-AB．
    ∴FG=
    1
    2
    （BC+AC-AB）．
    点评：本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质以及全等三角形的判定等知识点．
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    求证：AC=DE．

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    （1）AB=DC．
    （2）AD∥BC．

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