Question

如图，抛物线y=ax²+bx+（a≠0）经过A（-3，0）、C（5，0）两点，点B为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为ts，过点P作PM⊥BD交BC于点M，过点M作MN∥BD，交抛物线于点N．
①当t为何值时，线段MN最长；
②在点P运动的过程中，是否有某一时刻，使得以O、P、M、C为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求出此刻的t值；若不存在，请说明理由．
参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+与x轴交于点A（-3，0），C（5，0）
∴
解得．
∴抛物线的函数关系式为y=-x²+x+．

（2）①延长NM交AC于E，
∵B为抛物线y=-x²+x+的顶点，
∴B（1，8）．
∴BD=8，OD=1．
∵C（5，0），
∴CD=4．
∵PM⊥BD，BD⊥AC，
∴PM∥AC．
∴∠BPM=∠BDC=90°，∠BMP=∠BCD．
∴△BPM∽△BDC．
∴=．
根据题意可得BP=t，
∴=．
∴PM=t．
∵MN∥BD，PM∥AC，∠BDC=90°，
∴四边形PMED为矩形．
∴DE=PM=t．
∴OE=OD+DE=1+t．
∴E（1+t，0）．
∵点N在抛物线上，横坐标为1+t，
∴点N的纵坐标为-（1+t）²+（1+t）+．
∴NE=-（1+t）²+（1+t）+
=-t²+8．
∵PB=t，PD=ME，
∴EM=8-t．
∴MN=NE-EM=-t²+8-（8-t）
=-（t-4）²+2．
当t=4时，MN_最大=2．
②存在符合条件的t值．
连接OP，如图（2）．
若四边形OPMC是等腰梯形，只需OD=EC．
∵OD=1，DE=PM=t，
∴EC=5-（t+1）．
∴5-（t+1）=1．
解得t=6．
∴当t=6时，四边形OPMC是等腰梯形．

分析：（1）利用待定系数法直接将A（-3，0）、C（5，0）两点代入抛物线y=ax²+bx+（a≠0）就可以求出抛物线的解析式．
（2）①延长NM交AC于E，根据抛物线的解析式就可以求出顶点坐标B，利用条件得出三角形相似，求出MP，再根据矩形的性质求出点E，点N的坐标，把MN的长度表示出来，在转化 为顶点式就可以求出结论了．
②根据等腰梯形的性质连接PD，只要OD=CE时，就可以求出t值了．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的最值，待定系数法求函数的解析式，等腰梯形的判定及性质，相似三角形的判定及性质．