Question

15．在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径的圆，交BC于点E．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）如果AB⊥AC，AB=6，AC=8，求EC的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用平行四边形的性质得出BC=AD，AB=AE，AD∥BC，进而利用全等三角形的判定方法得出答案；
（2）利用勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求出BM的长，进而得出BE的长即可得出答案．

解答 （1）证明：∵在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径的圆，
∴BC=AD，AB=AE，AD∥BC，
∴∠B=∠AEB=∠DAE，
在△DAE和△CBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠B=∠DAE}\\{BC=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EAD；

（2）解：过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB⊥AC，AB=6，AC=8，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=10，
∴AM×BC=AB×AC，
解得：AM=$\frac{24}{5}$，
故BM=$\sqrt{A{B}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
则BE=$\frac{36}{5}$，
故EC=10-$\frac{36}{5}$=$\frac{14}{5}$．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理和全等三角形的判定等知识，正确利用平行四边形的性质是解题关键．