Question

3．△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=4，AD是角平分线，E，F分别是线段AC、AD上的动点，求EF+CF的最小值．

Answer 1

分析 由轴对称的性质可知：EC=EC′，所以EF+FC=EF+FC′，由垂线段最短可知：当C′E⊥AC时，C′E有最小值，然后利用锐角三角函数的定义即可求得EC′的长．

解答 解：如图所示：将△ACD沿AD翻折得到△ADC′，连接DC′，过点C′作C′E⊥AC，
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴△ACD与△ADC′关于AD对称．
∴点C′在AB上．
由翻折的性质可知：AC′=AC=4，．FC=FC′．
∴EF+FC=EF+FC′．
由垂线段最短可知：当C′E⊥AC时，C′E有最小值．
在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵C′E⊥AC，
∴△AEC′是等腰直角三角形，
∴EC′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC′=2$\sqrt{2}$．
∴EF+CF的最小值是2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用，锐角三角函数的定义，明确当C′E⊥AC时，C′E有最小值是解题的关键．