Question

10．在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．
（1）如图①，将矩形纸片沿AN折叠，点B落在对角线AC上的点E处，求BN的长；
（2）如图②，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG=GE，求BM的长；
（3）如图③，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点B落在AD边上的点E处，折痕所在直线同时经过AB、BC（包括端点），设DE=x，请直接写出x的取值范围：2≤x≤2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 （1）设BN=x，在Rt△ENC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）由ASA证明△GAM≌△GEF（ASA），得出GM=GF，AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，因此DF=8-x，CF=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）当折痕所在直线经过点A时，如图1所示；此时DE最小=AD-AB=8-6=2；当折痕所在直线经过点C时，如图2所示：此时DE最大，CE=CB=8，由勾股定理得：DE=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$；∴x的取值范围是2≤x≤2$\sqrt{7}$；故答案为：2≤x≤2$\sqrt{7}$．

解答 解：（1）设BN=x，在Rt△ENC中，由勾股定理得：x²+4²=（8-x），
解得：x=3，
∴BN=3；
（2）设BM=x，
由折叠的性质得：∠E=∠B=90°=∠A，
在△GAM和△GEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠E}&{\;}\\{AG=GE}&{\;}\\{∠AGM=∠EGF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GAM≌△GEF（ASA），
∴GM=GF，
∴AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，
∴DF=8-x，CF=8-（6-x）=x+2，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+2）²=（8-x）²+6²，
解得：x=$\frac{24}{5}$，
∴BM=$\frac{24}{5}$；
（3）当折痕所在直线经过点A时，如图1所示：
此时DE最小=AD-AB=8-6=2；
当折痕所在直线经过点C时，如图2所示：
此时DE最大，CE=CB=8，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$；
∴x的取值范围是2≤x≤2$\sqrt{7}$；
故答案为：2≤x≤2$\sqrt{7}$．

点评 本题是三角形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．