Question

15．探索与发现
（1）正方形ABCD中有菱形PEFG，当它们的对角线重合，且点P与点B重合时（如图1），通过观察或测量，猜想线段AE与CG的数量关系，并证明你的猜想；
（2）当（1）中的菱形PEFG沿着正方形ABCD的对角线平移到如图2的位置时，猜想线段AE与CG的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）结论AE=CG．只要证明△ABE≌△CBG，即可解决问题．
（2）结论不变，AE=CG．如图2中，连接BG、BE．先证明△BPE≌△BPG，再证明△ABE≌△CBG即可．

解答 解：（1）结论：AE=CG．
理由：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD，
∵四边形PEFG是菱形，
∴BE=BG，∠EBD=∠GBD，
∴∠ABE=∠CBG，
在△ABE和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBG}\\{BE=BG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBG，
∴AE=CG．

（2）结论不变，AE=CG．
理由：如图2中，连接BG、BE．

∵四边形PEFG是菱形，
∴PE=PG，∠FPE=∠FPG，
∴∠BPE=∠BPG，
在△BPE和△BPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PB}\\{∠BPE=∠BPG}\\{PE=PG}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△BPG，
∴BE=BG，∠PBE=∠PBG，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠ABE=∠CBG，
在△ABE和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBG}\\{BE=BG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBG，
∴AE=CG．

点评 本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．