Question

17．已知三个数x，y，z满足$\frac{xy}{x+y}$=-3，$\frac{yz}{y+z}$=$\frac{4}{3}$，$\frac{zx}{z+x}=-\frac{4}{3}$，求$\frac{xyz}{xy+yz+zx}$的值．

Answer 1

分析 根据反比例函数，可得$\frac{x+y}{xy}=-\frac{1}{3}$，$\frac{y+z}{yz}=\frac{3}{4}$，$\frac{z+x}{z+x}=-\frac{3}{4}$，根据分式的加减，可得答案．

解答 解：∵$\frac{xy}{x+y}$=-3，$\frac{yz}{y+z}$=$\frac{4}{3}$，$\frac{zx}{z+x}=-\frac{4}{3}$，
∴$\frac{x+y}{xy}=-\frac{1}{3}$，$\frac{y+z}{yz}=\frac{3}{4}$，$\frac{z+x}{zx}=-\frac{3}{4}$，
即$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{z}$+$\frac{1}{x}$=-$\frac{3}{4}$，
解得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{6}$，
$\frac{xz+yz+xy}{xyz}$=-$\frac{1}{6}$，
∴$\frac{xyz}{xy+yz+zx}=\frac{1}{{\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}}=-6$

点评 本题考查了分式的加减，利用比例函数得出$\frac{x+y}{xy}=-\frac{1}{3}$，$\frac{y+z}{yz}=\frac{3}{4}$，$\frac{z+x}{z+x}=-\frac{3}{4}$是解题关键．