Question

如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S_△FGC=3．其中正确结论的个数是（　　）

A．1       B．2       C．3       D．4

Answer 1

C【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

【专题】几何综合题；压轴题．

【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S_△FGC=S_△GCE﹣S_△FEC，求得面积比较即可．

【解答】解：①正确．

理由：

∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；

②正确．

理由：

EF=DE=CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．

在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）²+4²=（x+2）²，

解得x=3．

∴BG=3=6﹣3=GC；

③正确．

理由：

∵CG=BG，BG=GF，

∴CG=GF，

∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．

又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；

∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，

∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，

∴AG∥CF；

④错误．

理由：

∵S_△GCE=GC•CE=×3×4=6

∵GF=3，EF=2，△GFC和△FCE等高，

∴S_△GFC：S_△FCE=3：2，

∴S_△GFC=×6=≠3．

故④不正确．

∴正确的个数有3个．

故选：C．

【点评】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．