Question

【题目】如图①，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD.

(1)求证：BD平分EF.

(2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图②，其余的条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)结论仍成立，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF=DE；再利用AAS判定△BFG≌△DGE，从而得出FG=EG，即BD平分EF．
（2）结论仍然成立，同样可以证明得到．

试题解析：(1)∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，

∴AF＝CE.

∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°.

又∵AB＝CD，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．

∴BF＝DE.

又∵∠BGF＝∠DGE，

∴△BFG≌△DEG(AAS)．

∴GF＝GE，即BD平分EF.

(2)结论仍成立．理由如下：

∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°.

∵AE＝CF，∴AE－EF＝CF－EF，即AF＝CE.

∵AB＝CD，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．

∴BF＝DE.

又∵∠BGF＝∠DGE，

∴△BFG≌△DEG(AAS)．

∴GF＝GE，即BD平分EF.