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【题目】ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作ADE,使AD=AE,DAE=BAC,连接CE.

(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90°,则∠BCE=  度;

(2)设∠BAC=α,BCE=β.

①如图2,当点D在线段BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?请说明理由;

②当点D在直线BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.

【答案】(1)90°;(2)①α+β=180°,理由见解析;②当点D在射线BC上时,α+β=180°;当点D在射线BC的反向延长线上时,α=β.

【解析】(1)问要求∠BCE的度数,可将它转化成与已知角有关的联系,根据已知条件和全等三角形的判定定理,得出△ABD≌△ACE,再根据全等三角形中对应角相等,最后根据直角三角形的性质可得出结论;(2)问在第(1)问的基础上,将α+β转化成三角形的内角和;(3)问是第(1)问和第(2)问的拓展和延伸,要注意分析两种情况.

解:(1)90°.

理由:∵∠BAC=∠DAE,

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC.

即∠BAD=∠CAE.

在△ABD与△ACE中,

AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,

∴△ABD≌△ACE(SAS),

∴∠B=∠ACE.

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB,

∴∠BCE=∠B+∠ACB,

又∵∠BAC=90°,

∴∠BCE=90°;

(2)①α+β=180°,

理由:∵∠BAC=∠DAE,

∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC.

即∠BAD=∠CAE.

在△ABD与△ACE中,

AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,

∴△ABD≌△ACE(SAS),

∴∠B=∠ACE.

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB.

∴∠B+∠ACB=β,

∵α+∠B+∠ACB=180°,

∴α+β=180°;

②当点D在射线BC上时,α+β=180°;

理由:∵∠BAC=∠DAE,

∴∠BAD=∠CAE,

∵在△ABD和△ACE中,

AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,

∴△ABD≌△ACE(SAS),

∴∠ABD=∠ACE,

∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°,

∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°,

∴α+β=180°;

当点D在射线BC的反向延长线上时,α=β.

理由:∵∠DAE=∠BAC,

∴∠DAB=∠EAC,

∵在△ADB和△AEC中,

AD=AE,∠DAB=∠EAC,AB=AC,

∴△ADB≌△AEC(SAS),

∴∠ABD=∠ACE,

∵∠ABD=∠BAC+∠ACB,∠ACE=∠BCE+∠ACB,

∴∠BAC=∠BCE,

即α=β.

“点睛”本题考查三角形全等的判定,以及全等三角形的性质;两者综合运用,促进角与角相互转换,将未知角转化为已知角是关键.本题的亮点是由特例引出一般情况.

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请回答:

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