【题目】在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90°,则∠BCE= 度;
(2)设∠BAC=α,∠BCE=β.
①如图2,当点D在线段BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?请说明理由;
②当点D在直线BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.
【答案】(1)90°;(2)①α+β=180°,理由见解析;②当点D在射线BC上时,α+β=180°;当点D在射线BC的反向延长线上时,α=β.
【解析】(1)问要求∠BCE的度数,可将它转化成与已知角有关的联系,根据已知条件和全等三角形的判定定理,得出△ABD≌△ACE,再根据全等三角形中对应角相等,最后根据直角三角形的性质可得出结论;(2)问在第(1)问的基础上,将α+β转化成三角形的内角和;(3)问是第(1)问和第(2)问的拓展和延伸,要注意分析两种情况.
解:(1)90°.
理由:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中,
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠B=∠ACE.
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB,
∴∠BCE=∠B+∠ACB,
又∵∠BAC=90°,
∴∠BCE=90°;
(2)①α+β=180°,
理由:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中,
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠B=∠ACE.
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB.
∴∠B+∠ACB=β,
∵α+∠B+∠ACB=180°,
∴α+β=180°;
②当点D在射线BC上时,α+β=180°;
理由:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∵在△ABD和△ACE中,
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°,
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°,
∴α+β=180°;
当点D在射线BC的反向延长线上时,α=β.
理由:∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAB=∠EAC,
∵在△ADB和△AEC中,
AD=AE,∠DAB=∠EAC,AB=AC,
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB,∠ACE=∠BCE+∠ACB,
∴∠BAC=∠BCE,
即α=β.
“点睛”本题考查三角形全等的判定,以及全等三角形的性质;两者综合运用,促进角与角相互转换,将未知角转化为已知角是关键.本题的亮点是由特例引出一般情况.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图①,A,E,F,C在一条直线上,AE=CF,过点E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,且AB=CD.
(1)求证:BD平分EF.
(2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图②,其余的条件不变,上述结论是否仍成立?请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:
如图1,△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,点D,E分别在AB,BC上,且∠CDE=90°.当BE=2AD时,图1中是否存在与CD相等的线段?若存在,请找出并加以证明,若不存在,说明理由.
小明通过探究发现,过点E作AB的垂线EF,垂足为F,能得到一对全等三角形(如图2),从而将解决问题.
请回答:
(1)小明发现的与CD相等的线段是 .
(2)证明小明发现的结论;
参考小明思考问题的方法,解决下面的问题:
(3)如图3,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在BC上,BD=2DC,点E在AD上,且∠BEC=135°,求的值.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,线段AB=10,动点P从点A出发,以每秒1个单位的速度,沿线段AB向终点B运动,同时,另一个动点Q从点B出发,以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动(从点B向点A运动,到达点A后,立即原速返回,再次到达B点后立即调头向点A运动.) 当点P到达B点时,P,Q两点都停止运动.设点P的运动时间为x.
(1)当x=3时,线段PQ的长为 .
(2)当P,Q两点第一次重合时,求线段BQ的长.
(3)是否存在某一时刻,使点Q恰好落在线段AP的中点上?若存在,请求出所有满足条件的x的值;若不存在,请说明理由.
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