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【题目】如图,线段AB=10,动点P从点A出发,以每秒1个单位的速度,沿线段AB向终点B运动,同时,另一个动点Q从点B出发,以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动(从点B向点A运动,到达点A后,立即原速返回,再次到达B点后立即调头向点A运动.) 当点P到达B点时,P,Q两点都停止运动.设点P的运动时间为x.

(1)当x=3时,线段PQ的长为
(2)当P,Q两点第一次重合时,求线段BQ的长.
(3)是否存在某一时刻,使点Q恰好落在线段AP的中点上?若存在,请求出所有满足条件的x的值;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)2
(2)解:设x秒后P,Q第一次重合,得:x+3x=10

解得:x=2.5,

∴BQ=3x=7.5


(3)解:设x秒后,点Q恰好落在线段AP的中点上,根据题意,

①当点Q从点B出发未到点A时,即0<x< 时,有

x=2(10﹣3x),

解得

②当点Q到达点A后,从A到B时,即 <x< 时,有

x=2(3x﹣10),

解得 x=4;

③当点Q第一次返回到B后,从B到A时,即 <x<10时,有

x=2(30﹣3x),

解得

综上所述:当x= 或x=4或x= 时,点Q恰好落在线段AP的中点上


【解析】解:(1)根据题意,当x=3时,P、Q位置如下图所示:

此时:AP=3,BQ=3×3=9,AQ=AB﹣BQ=10﹣9=1,
∴PQ=AP﹣AQ=2;
(1)结合图形,表示出AP、AQ的长,可得PQ;(2)当P,Q两点第一次重合时,点P运动路程+点Q运动路程=AB的长,列方程可求得;(3)点Q落在线段AP的中点上有以下三种情况:①点Q从点B出发未到点A;②点Q到达点A后,从A到B;③点Q第一次返回到B后,从B到A,根据AP=2AQ列方程可得.

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