Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，O为菱形ABCD的对称中心，已知C（2，0），D（0，﹣1），N为线段CD上一点（不与C、D重合）．

（1）求以C为顶点，且经过点D的抛物线解析式；

（2）设N关于BD的对称点为N1，N关于BC的对称点为N2，求证：△N1BN2∽△ABC；

（3）求（2）中N1N2的最小值；

（4）过点N作y轴的平行线交（1）中的抛物线于点P，点Q为直线AB上的一个动点，且∠PQA=∠BAC，求当PQ最小时点Q坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣2）2（2）证明见解析（3）（4）

【解析】试题分析：（1）用待定系数法求，即可；

（2）由对称的特点得出∠N1BN2=2∠DBC结合菱形的性质即可；

（3）先判定出，当BN⊥CD时，BN最短，再利用△ABC∽△N1BN2得到比例式，求解，即可；

（4）先建立PE=m2﹣m+2函数解析式，根据抛物线的特点确定出最小值．

试题解析：（1）由已知，设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2

把D（0，﹣1）代入，得a=﹣

∴y=﹣（x﹣2）2

（2）如图1，连结BN．

∵N1，N2是N的对称点

∴BN1=BN2=BN，∠N1BD=∠NBD，∠NBC=∠N2BC

∴∠N1BN2=2∠DBC

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=BC，∠ABC=2∠DBC

∴∠ABC=∠N1BN2，

∴△ABC∽△N1BN2

（3）∵点N是CD上的动点，

∴点到直线的距离，垂线段最短，

∴当BN⊥CD时，BN最短．

∵C（2，0），D（0，﹣1）

∴CD=，

∴BNmin=，

∴BN1min=BNmin=，

∵△ABC∽△N1BN2

∴，

N1N2min=，

（4）如图2，

过点P作PE⊥x轴，交AB于点E．

∵∠PQA=∠BAC

∴PQ1∥AC

∵菱形ABCD中，C（2，0），D（0，﹣1）

∴A（﹣2，0），B（0，1）

∴lAB：Y=x+1

不妨设P（m，﹣（m﹣2）2），则E（m， m+1）

∴PE=m2﹣m+2

∴当m=1时，

此时，PQ1最小，最小值为=，

∴PQ1=PQ2=．