Question

10．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，DF⊥AB于F，AE⊥CF于E且交DF于M，求证：M为DF的中点．

Answer 1

分析 根据垂直的定义得到∠AFD=∠DFB=90°，根据余角的性质得到∠ADF=∠B，推出△ADF∽△DBF，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{BD}=\frac{DF}{BF}$，由于△ADM∽△CBF，由相似三角形的性质得到$\frac{AD}{CB}=\frac{DM}{BF}$，根据已知条件得到BD=1/2BC 等量代换得到$\frac{DF}{BF}=\frac{2DM}{BF}$，即可得到结论．

解答 证明：∵DF⊥AB于F，
∴∠AFD=∠DFB=90°，
∵AD⊥BC于D，
∴∠B+∠BDF=∠BDF+∠ADF=90°，
∴∠ADF=∠B，
∴△ADF∽△DBF，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DF}{BF}$，
∵AE⊥CF，
∴∠DAM=∠FCB，
∵∠ADF=∠B，
∴△ADM∽△CBF，
∴$\frac{AD}{CB}=\frac{DM}{BF}$，
又∵BD=1/2BC，
∴$\frac{AD}{2BD}$=$\frac{DM}{BF}$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{2DM}{BF}$，
∴$\frac{DF}{BF}=\frac{2DM}{BF}$，
∴DM=$\frac{1}{2}$DF，即M为DF中点．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．