Question

5．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（2，0），与正比例函数y=3x的图象交于点B（-1，a）．
（1）求点B的坐标及一次函数的表达式；
（2）若第一象限内的点C在正比例函数y=3x的图象上，且OC=$\sqrt{10}$，求点C的坐标；
（3）在（2）的基础上，连接AC，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）把B点坐标代入y=3x可得a的值，进而可得B点坐标；再把A（2，0），B（-1，-3）代入一次函数y=kx+b可得关于k、b的方程，进而可得k、b的值，从而可得一次函数解析式；
（2）首先设C（m，3m），然后可得m²+（3m）²=（$\sqrt{10}$）²，再解可得m的值，进而可得C点坐标；
（3）首先计算出△AOC和△BOA的面积，再求和即可得到△ABC的面积．

解答 解：（1）∵正比例函数y=3x的图象过B（-1，a），
∴a=3×（-1）=-3，
∴B（-1，-3），
∵一次函数y=kx+b的图象过点A（2，0），B（-1，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=2k+b}\\{-3=-k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式为y=x-2；

（2）∵点C在正比例函数y=3x的图象上，
∴设C（m，3m），
∵OC=$\sqrt{10}$，
∴m²+（3m）²=（$\sqrt{10}$）²，
解得：m=1，
∴C（1，3）；

（3）∵A（2，0），
∴S_△COA=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
∵B（-1，-3），
∴S_△BOA=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
∴△ABC的面积为：3+3=6．

点评 此题主要考查了两直线相交，以及利用待定系数法求函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．