【题目】问题探究:
(1)已知:如图1,在正方形ABCD中,点E、H分别在BC、AB上,若AE⊥DH于点O,求证AE=DH;
类比探究:
(2)如图2,在正方形ABCD中,点H,E,G,F分别在AB,BC,CD,DA上,若EF⊥HG于点O,探究线段EF与HG的数量关系,并说明理由;
拓展应用:
(3)已知,如图3,在(2)问条件下,若BC=4,E为BC的中点,AF= AD,求HG的长
【答案】
(1)
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=DA,∠ABE=90°=∠DAH.
∴∠HAO+∠OAD=90°.
∵AE⊥DH,
∴∠ADO+∠OAD=90°.
∴∠HAO=∠ADO,
在△ABE和△DAH中
,
∴△ABE≌△DAH(ASA),
∴AE=DH.
(2)
解:EF=GH.
理由:如图2,将FE平移到AM处,则AM∥EF,AM=EF.
将GH平移到DN处,则DN∥GH,DN=GH.
∵EF⊥GH,
∴AM⊥DN,
根据(1)的结论得AM=DN,
所以EF=GH;
(3)
解:如图3,
过点F作FP⊥BC于点P,
∵四边形ABCD是正方形,BC=4,
∴AD=BC=AB=FP=4,
∵E为BC的中点,AF= AD,
∴BE=2,AF=1,
∴PE=2﹣1=1,
在Rt△FPE中,EF= =
,
由(2)得:HG=EF,
∴HG= .
【解析】(1)由正方形的性质得AB=DA,∠ABE=90°=∠DAH.所以∠HAO+∠OAD=90°,又知∠ADO+∠OAD=90°,所以∠HAO=∠ADO,于是△ABE≌△DAH,可得AE=DH;(2)将FE平移到AM处,则AM∥EF,AM=EF,将GH平移到DN处,则DN∥GH,DN=GH.根据(1)的结论得AM=DN,所以EF=GH;(3)过点F作FP⊥BC于点P,利用勾股定理得出EF的长,进而得出HG的长.
【考点精析】关于本题考查的正方形的性质,需要了解正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能得出正确答案.
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【题目】我市南县大力发展农村旅游事业,全力打造“洞庭之心湿地公园”,其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘,游人如织.去年村民罗南洲抓住机遇,返乡创业,投入20万元创办农家乐(餐饮+住宿),一年时间就收回投资的80%,其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元.
(1)求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元?
(2)今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资,增设了土特产的实体店销售和网上销售项目.他在接受记者采访时说:“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长,加上土特产销售的利润,到年底除收回所有投资外,还将获得不少于10万元的纯利润.”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l:y= 交x轴于点A,交y轴于点B,点A1、A2、A3,…在x轴上,点B1、B2、B3,…在直线l上.若△OB1A,△A1B2A2,△A2B3A3,…均为等边三角形,则△A5B6A6的面积是__.
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【题目】如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=5,点E、F是BC、CD边上的动点(包括端点处),若将纸片沿EF折叠,使得点C恰好落在AD边上点P处.设CF=x,则x的取值范围为 .
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【题目】请认真观察图形,解答下列问题:
(1)根据图中条件,用两种方法表示两个阴影图形的面积的和(只需表示,不必化简);
(2)由(1),你能得到怎样的等量关系?请用等式表示;
(3)如果图中的a,b(a>b)满足a2+b2=53,ab=14,求:①a+b的值;②a4﹣b4的值.
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【题目】五一节,小丽独自一人去老家玩,家住在车站附近的姑姑到车站去接小丽.因为担心小丽下车后找不到路,姑姑一路小跑来到车站,结果客车晚点,休息一阵后,姑姑接到小丽,和小丽一起慢慢的走回了家.下列图象中,能反映以上过程中小丽姑姑离家的距离s与时间t的关系的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】有一个如图所示的长方体的透明鱼缸,假设其长AD=80 cm,高AB=60 cm,水深AE=40 cm,在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵,G在水面线EF上,且EG=60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵.
(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短?请画出它的爬行路线,并用箭头标注;
(2)试求小虫爬行的最短路程.
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