Question

已知抛物线y=x²-2x+c（c＜0）的顶点为M，与y轴相交于点C，A（m，）是直线MC上的点
（1）若点A关于y轴对称点B恰好在抛物线上，求抛物线所对应的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若C关于x轴的对称点为N，在抛物线y=x²-2x+c（c＜0）上是否存在点P，使得以A、C、P、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

解：（1）由y=x²-2x+c=（x-1）²+c-1（c＜0）知，M（1，c-1）、C（0，c）；
设直线MC的解析式：y=kx+b，则有：
，
解得
故直线MC：y=-x+c；
∵A（m，）是直线MC上的点，
∴-c=-m+c…①
∵点A关于y轴对称点B（-m，-c）在抛物线上，
∴-c=m²-2（-m）+c…②
联立①②，解得：（舍），
故抛物线对应的函数式：y=x²-2x-．

（2）假设存在符合题意的平行四边形；
由（1）知，A（-3，）、C（0，-）、N（0，）；
①当CN为平行四边形的边时，CNAP，已知：CN=，则有：
将点A向上平移个单位，得 P₁（-3，）；
将点A向下平移个单位，得 P₂（-3，-）；
②当CN为平行四边形的对角线时，点A、P关于原点对称，
则 P₃（3，-）；
又∵点P在抛物线上，
∴点P的坐标为（3，-），
，综上当点P的坐标为（3，-）时，以A、C、P、N为顶点的四边形是平行四边形．
分析：（1）首先用c表示出M点的坐标，再由待定系数法可求出直线MC的表达式，已知点A（m，-c）在直线MC上，且点B（-m，-c）在抛物线上，通过联立方程组即可求出m、c的值．
（2）由于四边形的四顶点排序没有明确，所以要分情况进行讨论，通过题意不难得出点C、N都在y轴上，所以：
①当CN为平行四边形的边时，那么AP与CN平行且相等，所以将点A向上或向下平移CN长个单位即可得到点P的坐标（有两个）；
②当CN为平行四边形的对角线时，由于平行四边形是中心对称图形，且C、N关于原点对称，所以点A、P必关于原点对称，则P点坐标可求．
点评：此题主要考查了函数解析式的确定以及平行四边形的判定和性质，在平行四边形的四顶点排序不确定的情况下，一定要分类进行讨论．