Question

2．已知：正方形ABCD和正方形AEFG，AD=2，AE=2$\sqrt{2}$，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，如图，当G恰好落在线段DB的延长线上时，则BE的长=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 作AH⊥DG于H，如图，先根据正方形的性质判断△AHD为等腰直角三角形，则HD=HA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\sqrt{2}$，再在Rt△AHG中利用勾股定理计算出GH=$\sqrt{6}$，则BG=DH+HG=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，由于∠DAB=90°，∠EAG=90°，AD=AB，AG=AE，于是根据旋转的定义可把△ADG绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，然后根据旋转的性质即可得到DG=BE=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．

解答 解：作AH⊥DG于H，如图，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴△AHD为等腰直角三角形，
∴HD=HA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
∵四边形AEFG为正方形，
∴AG=AE=2$\sqrt{2}$，
在Rt△AHG中，GH=$\sqrt{A{G}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴BG=DH+HG=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，
∴∠DAB=90°，∠EAG=90°，AD=AB，AG=AE，
∴△ADG绕点A顺时针旋转90°可得到△ABE，
∴DG=BE=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．
故答案为$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是DG=BE．