Question

【题目】如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB· DA.延长AE至F，使AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED=.

(1)求证：△DEB∽△DAE；

(2)求DA，DE的长；

(3)若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析； (2)DA=，DE=；(3)MD＝.

【解析】

(1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判定即可；

(2)由直径所对的圆周角是直角可得BE⊥AF，再根据中垂线的性质可得AB=BF=10，由△DEB ∽△DAE，cos ∠BED=，可得cos ∠EAD = ，在Rt△ABE中，解直角三角形可求得AE的长，BE的长，再由△DEB ∽△DAE，根据相似三角形的对应边成比例可得 ， 结合DB=DA-AB即可求得AD、DE的长；

(3)连接FM，根据∠BEF＝90°，根据90度角所对的弦是直径可确定出BF是B、E、F三点确定的圆的直径，再根据点F在B、E、M三点确定的圆上，可得四点F、E、B、M在同一个圆上，继而确定出点M在以BF为直径的圆上，在Rt△AMF中，由cos ∠FAM＝可求得AM的长，再根据MD＝DA－AM即可求得答案.

(1)DE2＝DB·DA，

∴，

又∵∠D＝∠D，

∴△DEB∽△DAE；

(2)∵AB是⊙C的直径，E是⊙C上的点，

∴∠AEB=90°，即BE⊥AF，

又∵AE=EF，BF=10，

∴AB=BF=10，

∵△DEB ∽△DAE，cos ∠BED=，

∴∠EAD=∠BED，cos ∠EAD =cos ∠BED=，

在Rt△ABE中，由于AB＝10，cos ∠EAD＝，得AE=ABcos∠EAD=8，

∴，

∵△DEB ∽△DAE，

∴，

∵DB=DA-AB=DA-10，

∴，解得，

经检验，是的解，

∴DA=，DE=；

(3)连接FM，

∵BE⊥AF，即∠BEF＝90°，

∴BF是B、E、F三点确定的圆的直径，

∵点F在B、E、M三点确定的圆上，即四点F、E、B、M在同一个圆上，

∴点M在以BF为直径的圆上，

∴FM⊥AB，

在Rt△AMF中，由cos ∠FAM＝得

AM＝AFcos ∠FAM ＝2AEcos ∠EAB＝2×8×＝，

∴MD＝DA－AM＝.