Question

12．（1）解方程：$\frac{1+3x}{{x}^{2}-x-6}-\frac{1-x}{3-x}=\frac{2-x}{x+2}$；
（2）解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2xy=0}\\{{x}^{2}-{y}^{2}+2y-1=0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）把分母因式分解，找到最简公分母，然后去分母把分式方程转化为整式方程．
（2）由方程x²-2xy=0，得到x与y的关系，把x与y的关系代入x²-y²+2y-1=0中，求出y的值，再求出x的值得到方程组的解．

解答 解：（1）原方程变形为：$\frac{1+3x}{（x-3）（x+2）}$+$\frac{1-x}{x-3}$=$\frac{2-x}{x+2}$
方程的两边都乘以（x-3）（x+2），得1+3x+（1-x）（x+2）=（2-x）（x-3）
去括号，得1+3x-x²-x+2=-x²+5x-6
移项，并整理得-3x+9=0
系数化为1，得x=3．
检验：当x=3时，（x-3）（x+2）=0
所以原分式方程无解．
（2）$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2xy=0①}\\{{x}^{2}-{y}^{2}+2y-1=0②}\end{array}\right.$
由①，得x（x-2y）=0，
所以x=0或x=2y．
把x=0代入②，得y²-2y+1=0
解得y₁=y₂=1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$
把x=2y代入②，得4y²-y²+2y-1=0
即3y²+2y-1=0
解得y₃=$\frac{1}{3}$，y₄=-1
∴x₃=$\frac{2}{3}$，x₄=-2
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=\frac{2}{3}}\\{{y}_{3}=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{4}=-2}\\{{y}_{4}=-1}\end{array}\right.$．
所以原方程组的解为：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=\frac{2}{3}}\\{{y}_{3}=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{4}=-2}\\{{y}_{4}=-1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了分式方程、二元二次方程组的解法．解分式方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，检验．解决（2）的关键是把二元二次方程组转化为一元一次方程和一元二次方程．