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    16．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4$\sqrt{2}$，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点．
    （1）直接写出△AGF与△ABC的面积的比值；
    （2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）．
    ①探究1：在运动过程中，四边形CEF′F能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由．
    ②探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．

    分析 （1）由三角形的中位线定理可知：FG∥BC，且$GF=\frac{1}{2}BC$，从而得到△AGF∽△ABC，且相似比为1：2，由相似三角形的面积比等于相似比的平方可知：△AGF与△ABC的面积比是1：4；
    （2）①首先由特殊锐角三角函数值可求得AC的长为4，从而得到FC=2，因为FC∥EF'，CE∥FF'，四边形CEF'F是平行四边形，当CE=CF=2时，四边形CEF'F为菱形，从而可得到x=2；
    ②当0≤x＜2$\sqrt{2}$时，如图3所示；过点F作FM⊥BC，垂足为M，先求得FG=2$\sqrt{2}$，FM=$\sqrt{2}$，由梯形的面积公式可知S梯形G′DCF=$\frac{1}{2}（G′F+DC）•FM$=6-$\sqrt{2}x$，故此y与x的函数关系式为y=6-$\sqrt{2}x$；当2$\sqrt{2}$≤x≤4$\sqrt{2}$时，如图4所示：过点P作PM⊥BC，垂足为M，则D′C=DC-DD′=4$\sqrt{2}$-x，然后再证得PM=$\frac{1}{2}D′C$=$\frac{1}{2}×（4\sqrt{2}-x）$，最后由三角形的面积公式可知：△PD′C的面积=$\frac{1}{2}D′C•PM$=$\frac{1}{4}{x}^{2}-2\sqrt{2}x+8$，故此可得出y与x的函数关系式．

    解答 解：（1）如图1所示：

    ∵G、F分别是AB和AC的中点，
    ∴FG∥BC，且$GF=\frac{1}{2}BC$．
    ∴△AGF∽△ABC，且$\frac{GF}{BC}=\frac{1}{2}$．
    由相似三角形的面积比等于相似比的平方可知：△AGF与△ABC的面积比是1：4．
    （2）①能为菱形．
    理由：如图2所示：

    ∵∠A=90°，AB=AC，
    ∴∠ACB=45°．
    ∵cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
    ∴$\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{AC}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
    ∴AC=4．
    ∴CF=2．
    ∵FC∥EF'，CE∥FF'，
    ∴四边形CEF'F是平行四边形．
    ∴当$CE=CF=\frac{1}{2}AC=2$时，四边形CEF'F为菱形，
    ∴x=2．
    ∴当x=2秒时，四边形CEF'F为菱形；
    ②当0≤x＜2$\sqrt{2}$时，如图3所示；过点F作FM⊥BC，垂足为M．

    ∵$GF=\frac{1}{2}BC$
    ∴FG=2$\sqrt{2}$．
    ∵FC=2，∠FMC=90°，∠FCB=45°，
    ∴sin45°=$\frac{FM}{EC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{FM}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
    ∴FM=$\sqrt{2}$．
    S梯形G′DCF=$\frac{1}{2}（G′F+DC）•FM$=$\frac{1}{2}（2\sqrt{2}-x+4\sqrt{2}-x）×\sqrt{2}$=6-$\sqrt{2}x$，
    ∴y与x的函数关系式为y=6-$\sqrt{2}x$；
    当2$\sqrt{2}$≤x≤4$\sqrt{2}$时，如图4所示：过点P作PM⊥BC，垂足为M．

    D′C=DC-DD′=4$\sqrt{2}$-x，
    ∵△PDC为等腰直角三角形，PM⊥D′C，
    ∴PM=$\frac{1}{2}D′C$=$\frac{1}{2}×（4\sqrt{2}-x）$．
    ∴△PD′C的面积=$\frac{1}{2}D′C•PM$=$\frac{1}{2}×（4\sqrt{2}-x）×\frac{1}{2}×（4\sqrt{2}-x）$=$\frac{1}{4}{x}^{2}-2\sqrt{2}x+8$．
    ∴y与x的函数关系式为y=$\frac{1}{4}{x}^{2}-2\sqrt{2}x+8$．
    综上所述，y与x的函数关系为y=6$\left\{\begin{array}{l}{6-\sqrt{2}x（0≤x＜2\sqrt{2}）}\\{\frac{1}{4}{x}^{2}-2\sqrt{2}x+8（2\sqrt{2}≤x≤4\sqrt{2}）}\end{array}\right.$．

    点评 本题主要考查的是三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质和判定、相似三角形的性质、平移的性质以及三角形和梯形的面积公式的综合应用，利用含x的代数式，表示出梯形和三角形的底和高的长度是解题的关键．

    练习册系列答案
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    A．乙校教师比甲校教师人均多捐20元，且甲校教师的人数比乙校教师的人数多20%
    B．甲校教师比乙校教师人均多捐20元，且乙校教师的人数比甲校教师的人数多20%
    C．甲校教师比乙校教师人均多捐20元，且甲校教师的人数比乙校教师的人数多20%
    D．乙校教师比甲校教师人均多捐20元，且乙校教师的人数比甲校教师的人数多20%

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    （2）若点H是AD上一定点，且AH=2，点G点运动多长时间后，AE的长度为8？
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    ①当月收入大于800元而又小于1300元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式y=0.05x-40；
    ②某人某月收入为960元，他应缴所得税8元；
    ③如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资薪金是1184元．

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    A．已知a，b，c是三角形的三边长，则a2+b2=c2
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    D．在Rt△ABC中，若∠A=90°，则三角形对应的三边满足a2+b2=c2

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