Question

4．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A．B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F．连接BE、DF．
（1）求证：∠ADP=∠EPB；
（2）求证：△PAD∽△FBP；
（3）求∠CBE的度数．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等证明即可；
（2）由（1）可知：∠ADP=∠EPB，∠A=∠FBP=90°，所以△PAD∽△FBP；
（3）如图，过点E作EG⊥AB，垂足为G．首先证明△DAP≌△PGE，从而得到：AP=EG，PG=AD，然后由正方形的性质可知：AB=PG，从而可证明BG=EG，所以∠EBG=45°，从而得到∠CBE=45°．

解答 解：（1）∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°．
∵∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠EPB．
（2）∵∠ADP=∠EPB，∠A=∠FBP，
∴△PAD∽△FBP．
（3）如图，过点E作EG⊥AB，垂足为G．

在△DAP和△PGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠EPG}\\{∠DAP=∠EGP}\\{DP=PE}\end{array}\right.$．
∴△DAP≌△PGE．
∴AP=EG，PG=AD．
∵AB=AD，
∴AB=PG．
∴AB-PB=PG-PB，即AP=BG．
∴BG=EG．
又∵∠EGB=90°，
∴∠EBG=45°．
∴∠CBE=45°．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定、正方形的性质，证得△DAP≌△PGE是解题的关键．