Question

9．已知如图1，抛物线y=ax²+4ax+$\frac{3}{4}$交x轴于A、B（A在B的左侧），过A点的直线y=kx+3k（k＞$\frac{1}{4}$）交抛物线于另一点C（x₁，y₁），交y轴于M．
（1）直接写出A点坐标，并求a的值；
（2）连BC，作BD⊥BC交AC于D，若CB=5BD，求k的值；
（3）设P（-1，-2），中图2连CP交抛物线于另一点E（x₂，y₂），连AE交y轴于N．请你探究OM•ON的值的变化情况，若变化，求其变化范围；若不变，求其值．

Answer 1

分析 （1）由直线y=kx+3k（k＞$\frac{1}{4}$）过点A，可求出点A的坐标，然后把点A的坐标代入y=ax²+4ax+$\frac{3}{4}$，可求出a的值；
（2）联立直线和抛物线解析式，得到C点的坐标，作DF⊥x轴于F，CG⊥x轴于G，由△BDF∽△CBG，得到CG=5BF，BG=5DF，设BF=m，则CG=5m，DF=2k-km，BG=5（2k-km），则得到关于k的方程组，即可求出k值；
（3）直线PC解析式为y=ax+a-2，与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+x+$\frac{3}{4}$联立得到关于x的一元二次方程，由根与系数的关系知x₁+x₂=4a-4，x₁x₂=11-4a，根据$\frac{OM}{OA}•\frac{ON}{OA}$=$\frac{y1}{x1-xA}•\frac{y2}{x2-xA}$得到OM•ON=$\frac{1}{2}$OA²，得到结果为定值．

解答 解：（1）∵直线y=kx+3k（k＞$\frac{1}{4}$）过点A，
∴y=0时，0=kx+3k，
解得：x=-3，
∴A（-3，0），
把点A的坐标代入y=ax²+4ax+$\frac{3}{4}$，得
9a-12a+$\frac{3}{4}$=0，
解得：a=$\frac{1}{4}$；
（2）联立直线和抛物线解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3k}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+x+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$
解得C（4k-1，4k²+2k），
如图1，作DF⊥x轴于F，CG⊥x轴于G，
则△BDF∽△CBG，
∵CB=5BD，
∴CG=5BF，BG=5DF，
设BF=m，则CG=5m，DF=2k-km，BG=5（2k-km），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k-1+1=10k-5km}\\{5m=4{k}^{2}+2k}\end{array}\right.$，
解得k₁=-$\frac{3}{2}$（舍去），k₂=1；
（3）直线PC解析式为y=ax+a-2，与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+x+$\frac{3}{4}$联立消去y得：x²-4（a-1）x+11-4a=0，
∴x₁+x₂=4a-4，x₁x₂=11-4a，
∵$\frac{OM}{OA}•\frac{ON}{OA}$=$\frac{y_1}{x_1-x_A}•\frac{y_2}{x_2-x_A}$
=$\frac{\frac{1}{4}（x_1+1）（x_1+3）×\frac{1}{4}（x_2+1）（x_2+3）}{（x_1+3）（x_2+3）}$ 
=$\frac{1}{16}$（x₁+1）（x₂+1）
=$\frac{1}{16}$（11-4a+4a-4+1）
=$\frac{1}{2}$，
∴OM•ON=$\frac{1}{2}$OA²=$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题型，二次函数与三角形相似以及一元二次方程等知识的综合运用，熟练的运用数形结合是解决问题的关键．