Question

17．如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A（4，0）．B（0，8），点C的坐标为（2，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一动点P．
①过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为点E，F，若矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标．
②连结CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于A（4，0）、B（0，8），利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）①可以设动点P （x，-2x+8），由此得到PE=x，PF=-2x+8，再利用矩形OEPF的面积为6即可求出点P的坐标；
②存在，分两种情况：第一种由CP∥OB得△ACP∽△AOB，由此即可求出P的坐标；第二种CP⊥AB，根据已知条件可以证明APC∽△AOB，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求出PA，再过点P作PH⊥x轴，垂足为H，由此得到PH∥OB，进一步得到△APH∽△ABO，然后利用相似三角形的对应边成比例就可以求出点P的坐标．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，如图1：

依题意，$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴y=-2x+8；
（2）①设动点P （x，-2x+8），则PE=x，PF=-2x+8，
∴S_?OEPF=PE•PF=x（-2x+8）=6，
∴x₁=1，x₂=3；
经检验x₁=1，x₂=3都符合题意，
∴点P（1，6）或（3，2）；
②存在，分两种情况
第一种：CP∥OB，
∴△ACP∽△AOB，
而点C的坐标为（2，0），
∴点P（2，4 ）；
第二种CP⊥AB，
∵∠APC=∠AOB=90°，∠PAC=∠BAO，
∴△APC∽△AOB，
∴$\frac{AP}{OA}=\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{AP}{4}=\frac{2}{\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}}$，
∴AP=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
如图2，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，

∴PH∥OB，
∴△APH∽△ABO，
∴$\frac{PH}{OB}=\frac{AP}{AB}=\frac{AH}{OA}$，
∴$\frac{PH}{8}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{AH}{4}$，
∴PH=$\frac{4}{5}$，AH=$\frac{2}{5}$
∴OH=OA-AH=$\frac{18}{5}$，
∴点P（$\frac{18}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
∴点P的坐标为（2，4）或点P（$\frac{18}{5}$，$\frac{4}{5}$）．

点评 本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用相似三角形的性质与判定与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．