Question

7．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c交x轴于A（-1，0）、B（3，0）两点，交y轴于C点，抛物线的顶点为D，连接AC、BD并延长交于点E，连接BC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；
（2）△BCD是直角三角形吗？为什么？
（3）求∠E的度数．

Answer 1

分析 （1）利用交点式直接写出抛物线解析式，然后配成顶点式确定顶点D的坐标；
（2）先求出C点坐标，再利用两点间的距离公式分别计算出BC、CD和BD，然后利用勾股定理的逆定理可证明△BCD是直角三角形；
（3）通过证明△BCD∽△COA得到∠CBD=∠OCA，再利用三角形外角性质得∠ACB=∠CBD+∠E，于是得到∠E=∠OCB=45°．

解答 解：（1）抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3．
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）△BCD是直角三角形． 理由如下：
当x=0时，y=-x²+2x+3=3，则C（0，3），
∵BC²=3²+3²=18，CD²=（1-0）²+（4-3）²=2，BD²=（1-3）²+（4-0）²=20，
∴BC²+CD²=BD²，
∴△BCD是直角三角形，∠BCD=90°；
（3）∵OC=OB，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
∵OA=1．OC=3，CD=$\sqrt{2}$，BC=3$\sqrt{2}$，
∴$\frac{CD}{OA}=\frac{BC}{CO}=\sqrt{2}$，
又∵∠BCD=∠COA=90°，
∴△BCD∽△COA，
∴∠CBD=∠OCA．
又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，
∴∠E=∠OCB=45°．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质；理解坐标与图形性质，能利用两点间的距离公式计算线段的长；灵活应用相似三角形的判定与性质解决角度相等的问题．