Question

12．如图所示，矩形ABCD的顶点C、D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上，顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，连接OD，若∠ODC=60°，则$\frac{AB}{AD}$=$\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 解答本题的关键是要证明矩形ABCD关于直线y=x对称，进而通过∠ODC=60°得到△ODC为等边三角形，再通过三角形的边角关系得出AB与AD的比值．

解答 解：如图，作DE⊥y轴，CF⊥x轴，
∵矩形ABCD，
∴AD=BC，∠CBF+∠ABO=∠BAO+∠DAE=90°，
又∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBF=∠BAO=∠EDA，
∴△DEA≌△BFC，△BFC∽△AOB，
∴BF=DE，AE=CF，
设BF=ED=a，CF=AE=b，OB=bm，OA=am，
∴C点坐标为：（a+bm，b），D点坐标为（a，b+am），
∵C，D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴b（a+bm）=a（b+am）=k，
∴b²=a²，∴a=b，
∴C，D两点关于直线y=x对称，A，B两点也关于直线y=x对称，
连接OC，OC=OD，
∵∠ODC=60°，
∴△ODC为等边三角形，
∴OC=OD=DC=AB，
设OA=OB=c，
∴AB=$\sqrt{2}c$，OC=$\sqrt{2}c$，
设CF=BF=a，
∴BC=AD=$\sqrt{2}a$，
∴在Rt△OFC中，OF²+CF²=OC²，
∴（a+c）²+a²=（$\sqrt{2}c$）²
∴$\frac{2{a}^{2}}{{c}^{2}}+\frac{2a}{c}=1$，
∴$\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{2}c}{\sqrt{2}a}=\frac{c}{a}=\sqrt{3}+1$
故答案为：$\sqrt{3}+1$．

点评 本题为反比例函数的综合题，其中涉及全等三角形与相似三角形的证明与性质，轴对称图形，以及勾股定理的应用，此题难度较大．