Question

14．如图所示，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是AD上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，AB=3，BC=4，则PE+PF的值是否会变化？若不变化，请加以证明；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，可求得OA=OD=$\frac{5}{2}$，然后由S_△AOD=S_△AOP+S_△DOP求得答案．

解答 解：不会变化；理由如下：
连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，
∴S_矩形ABCD=AB•BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴S_△AOD=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=3，OA=OD=$\frac{5}{2}$，
∴S_△AOD=S_△AOP+S_△DOP=$\frac{1}{2}$OA•PE+$\frac{1}{2}$OD•PF=$\frac{1}{2}$OA（PE+PF）=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×（PE+PF）=3，
∴PE+PF=$\frac{12}{5}$．

点评 此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．