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    （1997•浙江）如图，⊙O1与⊙O2相交，大圆⊙O1的弦AB⊥O1O2，垂足是F，且交⊙O2于点C，D，过B作⊙O2的切线，E为切点，已知BE=DE，BD=m，BE=n，AC，CE的长是关于x的方程x2+px+q=0的两个根．
    （1）求证：AC=BD；
    （2）用含m，n的代数式分别表示p和q；
    （3）如果关于x的方程qx2-（m2+mp）x+1=0有两个相等的实数根，且∠DEB=30°，求⊙O2的半径．
    分析：（1）由垂径定理可知FA=FB，FC=FD，所以AC=BD；
    （2）由已知条件证明△CBE∽△EBD可得：BC=
    BE2
    BD
    =
    n2
    m
    ，证明△CBE∽△EBD可得
    CB
    BE
    =
    CE
    DE
    ，因为BE=DE，所以CE=CB=
    n2
    m
    ，又AC=BD=m，所以p=-（AC+CE）=-（m+
    n2
    m
    ）=-
    m2+n2
    m
    ，q=AC•CE=m•
    n2
    m
    =n2；
    （3）因为方程qx2-（m2+mp）x+1=0有两个相等的实数根，所以△=[-（m2+mp）]2-4q=（-n2）2-4n2=0，连接O2D，O2E，证明△O2ED是等边三角形，即可得到O2E=DE=BE=2．
    解答：解：（1）∵O1F⊥AB，
    ∴FA=FB．
    ∵O2F⊥CD，
    ∴FC=FD，
    ∴AC=BD；

    （2）∵BE和⊙O2切于点E，
    ∴BE2=BD•BC，
    ∴BC=
    BE2
    BD
    =
    n2
    m
    ，
    又∵∠BCE=∠DEB，∠B=∠B，
    ∴△CBE∽△EBD，
    ∴
    CB
    BE
    =
    CE
    DE
    ，
    ∵BE=DE，
    ∴CE=CB=
    n2
    m
    ，
    又∵AC=BD=m，
    ∴p=-（AC+CE）=-（m+
    n2
    m
    ）=-
    m2+n2
    m
    ，q=AC•CE=m•
    n2
    m
    =n2；

    （3）∵方程qx2-（m2+mp）x+1=0有两个相等的实数根，
    而p=-
    m2+n2
    m
    •q=n2，
    ∴△=[-（m2+mp）]2-4q=（-n2）2-4n2=0．
    由n＞0，
    解得n=2．
    连接O2D，O2E．
    又∵∠DEB=30°，∠BEO2=90°，
    ∴∠O2ED=60°，
    ∴△O2ED是等边三角形，
    ∴O2E=DE=BE=2，
    即⊙O2的半径是2．
    点评：本题考查了垂径定理、相似三角形的判定和性质、根的判别式的应用以及等边三角形的判定和性质，此题将两圆相交的条件以及和两圆相关的线段和角巧妙地结合起来，使之成为一个有机的整体，要充分利用它们之间的关系．
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    10
    10
    cm．

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    S1
    S2
    =（　　）

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