Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．

（1）求这条抛物线对应的函数关系式；

（2）连结BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由；

（3）连结BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）根据△ABE与△ABC的面积之比为3∶2及E（2，6），可得C（0，4）.

∴D（0，2）. 由D（0，2）、E（2，6）可得直线AD所对应的函数关系式为y＝2x＋2.

当y＝0时，2x＋2＝0，解得x＝－1. ∴A（－1，0）.

由A（－1，0）、C（0，4）、E（2，6）求得抛物线对应的函数关系式为

y＝－x2＋3x＋4.

（2）BD⊥AD.

求得B（4，0），通过相似或勾股定理逆定理证得∠BDA＝90°，即BD⊥AD.

（3）法1：求得M（，），AM＝. 由△ANB∽△ABM，得＝，即AB2＝AM·AN，

∴52＝·AN，解得AN＝3.从而求得N（2，6）.

法2：由OB＝OC＝4及∠BOC＝90°得∠ABC＝45°.

由BD⊥AD及BD＝DE＝2得∠AEB＝45°.

∴△AEB∽△ABM，即点E符合条件，∴N（2，6）.

【解析】（1）根据△ABE与△ABC的面积之比为3∶2及E（2，6），可得C（0，4）.

∴D（0，2）. 由D（0，2）、E（2，6）根据待定系数法可得直线AD所对应的函数关系式为y＝2x＋2.

求得一次函数与x轴的交点坐标A（－1，0），由A（－1，0）、C（0，4）、E（2，6）根据待定系数法

求得抛物线对应的函数关系式为y＝－x2＋3x＋4.

求得B（4，0），通过相似或勾股定理逆定理证得∠BDA＝90°，即BD⊥AD.

由△ANB∽△ABM，根据对应边成比例即可求得点N的坐标。