Question

4．已知：如图，AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB=5，BC=8，CD=3，E为线段BC上一点．求：当AE=DE时，BE的长度，并确定此时∠AED的度数．

Answer 1

分析 设BE=x，利用勾股定理表示出AE²、DE²，然后根据AE=DE列出方程求出x，再利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△EDC全等根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠D，再根据平角等于180°列式计算即可求出∠AED=90°．

解答 解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
设BE=x，在Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理得，
AB²+BE²=AE²，DC²+CE²=DE²，
∵AE=DE，
∴AB²+BE²=DC²+CE²，
∴5²+x²=3²+（8-x）²，
解得x=3，
即BE=3，
在Rt△ABE和Rt△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{BE=CD=3}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴∠AEB=∠D，
∵∠CED+∠D=90°，
∴∠CED+∠AEB=90°，
∴∠AED=180°-∠CED-∠AEB=180°-90°=90°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定方法并利用勾股定理列式求出BE的长度是解题的关键．