Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒

3

厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ丄MP．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由：
（2）若∠ABC=60°，AB=4

3

厘米．
①求动点Q的运动速度；
②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）可以证明两个三角形中的两个角对应相等，则两个三角形一定相似；
（2）①若BP=

3

，根据△PBM∽△QNM，求得NQ的长，即Q一分钟移动的距离，即Q的速度；
②分别用时间t表示出AP，AQ的长，根据直角三角形的面积即可求得函数解析式．

解答：解：（1）相似．
证明：∵MN⊥BC交AC于点N，MQ丄MP，
∴∠BMN=∠PMQ=90°，
即∠BMP+∠PMN=∠PMN+∠NMQ，
∴∠PMB=∠NMQ，
∵△ABC与△MNC中，∠C=∠C，∠A=∠NMC=90°，
∴△ABC∽△MNC，
∴∠B=∠MNC，
∴△PBM∽△QNM；

（2）①在直角△ABC中，∠ABC=60°，AB=4

3

厘米，
则BC=8

3

cm，AC=12cm．
由M为BC中点，得BM=CM=4

3

（cm），
若BP=

3

cm．
∵在Rt△CMN中，∠CMN=90°，∠MCN=30°，
∴NC=

CM

cos30°

=8cm，
∵△PBM∽△QNM，
∴

MN

BM

=

NQ

BP

，
即NQ=1，
则求动点Q的运动速度是每秒钟1cm．
②AP=AB-BP=4

3

-

3

t，
AQ=AN+NQ=AC-NC+NQ=12-8+t=4+t，
则当0＜t＜4时，△APQ的面积为：S=

1

2

AP•AQ=

1

2

（4

3

-

3

t）（4+t）=

16 3 - 3 t2

2

，
当t＞4时，AP=

3

t-4

3

=（t-4）

3

．
则△APQ的面积为：S=

1

2

AP•AQ=

1

2

（

3

t-4

3

）（4+t）=

3 t2-16 3

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，以及相似三角形与函数的综合应用，利用时间t正确表示出题目中线段的长度是解题的关键．