Question

如图，正方形ABCD的边长为1+

3

，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，点P是对角线AC上的动点，当PD+PE的和最小时，点P到AB的距离为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，△ABE是等边三角形，得出∠ABE=60°，进而得出∠FBC=30°，解直角三角形求得CF=

3

3

BC=

3

3

（1+

3

）=

3

3

+1，然后根据平行线分线段成比例定理求得

AP′

AC

=

3

3 +1

，进一步得出P′G=

3

，从而求得点P到AB的距离为

3

．

解答：解：设BE与AC交于点P′，连接BD．
∵点B与D关于AC对称，
∴P′D=P′B，
∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．
∵AB=1+

3

，
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=1+

3

．
延长BE交DC于F，作P′G⊥AB于G，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠FBC=30°，
∴CF=

3

3

BC=

3

3

（1+

3

）=

3

3

+1，
∵AB∥CD，
∴

CF

AB

=

CP′

AP′

=

3

3

，
∴

AP′

CP′

=

3

，
∴

AP′

AC

=

3

3 +1

，
∵P′G∥BC，
∴

P′G

BC

=

AP′

AC

，
即

P′G

3 +1

=

3

3 +1

，
∴P′G=

3

，
∴点P到AB的距离为

3

，
故答案为

3

．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，正方形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．