Question

10．已知如图，直线y₁=k₁x+b与双曲线y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象相交于A（2，-3）、B（-3，m）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式．
（2）连接OA、OB，已知点P在x轴上，且S_△PBO=2S_△ABO，求点P的坐标．
（3）直线AB与x轴交于点C，在y轴上是否存在一点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由点A坐标求出双曲线解析式，进而求出点B坐标，最后用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）先求出△ABO的面积，进而得出△PBO的面积设即可求出OP即可得出结论（3）先作出点C关于y轴的对称点C即可求出C'的坐标，进而求出直线BC的解析式即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（2，-3）在双曲线y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$上，
∴k₂=2×（-3）=-6，
∴双曲线的解析式为y₂=-$\frac{6}{x}$，
∵点B（-3，m）在双曲线y₂=-$\frac{6}{x}$上，
∴-3m=-6，
∴m=2，
∴B（-3，2），
∵点A（2，-3），B（-3，2）在直线y₁=k₁x+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3{k}_{1}+b=2}\\{2{k}_{1}+b=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y₁=-x-1；

（2）如图1，
记直线AB与x轴相交于点C，
由（1）知，B（-3，2），直线AB的解析式为y₁=-x-1，
∴C（-1，0），
∴S_△ABO=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$OC×|y_A|+$\frac{1}{2}$OC×|y_B|=$\frac{1}{2}$×1×（3+2）=$\frac{5}{2}$，
设点P（n，0），
∴S_△PBO=$\frac{1}{2}$OP×|y_B|=$\frac{1}{2}$|n|×2=|n|，
∵S_△PBO=2S_△ABO，∴|n|=2×$\frac{5}{2}$=5，
∴n=±5，
∴P（-5，0）或（5，0）；
（3）如图2，作出点C关于y轴的对称点C'（1，0），
∵B（-3，2），
∴直线BC'的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∴D（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，最值的确定，解本题的根据是用方程的思想思考问题．