Question

13．如图，AB是圆内接正六边形的一边，正六边形的半径为2，点P在弧AmB上，点P到直线AB的距离为3，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． 3
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$+3
• D． $\frac{2π}{3}$-$\sqrt{3}$+3

Answer 1

分析 由正六边形的性质得出△AOB是等边三角形，得出AB=OA=2，⊙O的半径=2；由三角形的面积公式求出△PAB的面积，弓形AB的面积=扇形AOB的面积-△AOB的面积，即可得出图中阴影部分的面积．

解答 解：连接OA、OB，如图所示：
∵AB是圆内接正六边形的一边，
∴∠AOB=60°，
又∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=2，
即⊙O的半径是2；
∵点P到直线AB的距离为3，
∴△PAB的面积=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
∵弓形AB的面积=扇形AOB的面积-△AOB的面积=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}-\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\frac{2}{3}π-\sqrt{3}$，
∴图中阴影部分的面积=△PAB的面积+弓形AB的面积=$\frac{2}{3}π-\sqrt{3}$+3．
故选：D．

点评 本题考查了正六边形与圆、扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正六边形的性质，由扇形面积公式求出弓形的面积是解决问题的关键．