Question

9．在四边形ABCD中，连接对角线AC，BD，E、F、M、N分别是AB、BC、CD、AD的中点，连接EF、FM、MN、EN，下列条件中，能使四边形EFMN是菱形的是（　　）

• A． AB=BC
• B． AB⊥BC
• C． AC⊥BD
• D． AC=BD

Answer 1

分析 首先根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形，再根据所得四边形要成为菱形，则需有一组邻边相等，故对角线应满足相等即可．

解答 解：
∵E、F、M、N分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，FM∥BD，FM=$\frac{1}{2}$BD，GN∥AC，GN=$\frac{1}{2}$AC，EN∥BD，EN=$\frac{1}{2}$BD．
∴EF∥MN，EF=MN，FM∥EN，FM=EN．
∴四边形EFMN是平行四边形，
∵AC=BD，
∴EF=EN，
∴四边形EFMN为菱形．
故选A．

点评 此题主要是对三角形的中位线定理的运用．
同时熟记此题中的结论：
顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；
顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；
顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；
顺次连接对角线垂直且相等的四边形各边中点所得四边形是正方形．