【题目】如图①所示,在△ABC中,点O是AC上一点,过点O的直线与AB,BC的延长线分别相交于点M,N.
【问题引入】
(1)若点O是AC的中点, ,求的值;
温馨提示:过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.
【探索研究】
(2)若点O是AC上任意一点(不与A,C重合),求证: ;
【拓展应用】
(3)如图②所示,点P是△ABC内任意一点,射线AP,BP,CP分别交BC,AC,AB于点D,E,F.若, ,求的值.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【解析】试题分析:(1)作AG∥MN交BN延长线于点G,证△ABG∽△MBN得,
即,同理可证△ACG∽△OCN得,结合AO=CO,得NG=CN,从而由进行求解,
(2)由,可知: ,
(3)由(2)可知,在△ABD中有, 在△ACD中有,
从而,因此可得: .
(1)解:过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.∵ON∥AG,∴=.∵O是AC的中点,∴AO=CO,∴NG=CN.∵MN∥AG,∴=,∴===.
(2)证明:由(1)可知=,=,∴··=··=1.
(3)解:在△ABD中,点P是AD上一点,过点P的直线与AB,BD的延长线分别相交于点F,C.由(2)可得··=1.在△ACD中,过点P的直线与AC,CD的延长线分别相交于点E,B.由(2)可得··=1.∴··=··,∴=·=×=.
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【题目】如图,已知反比例函数y=的图象经过点A(4,m),AB⊥x轴,且△AOB的面积为2.
(1)求k和m的值;
(2)若点C(x,y)也在反比例函数y=的图象上,当-3≤x≤-1时,求函数值y的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标中,正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点.
()分别求这两个函数的表达式.
()将直线向上平移个单位长度后与轴交于点,与反比例函数图象在第四象限内的交点为,连接、,求点的坐标及的面积.
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【题目】(1)已知点P(a-1,3a+6)在y轴上,求点P的坐标.
(2)已知点A(-3,m),B(n,4),若AB∥x轴,求m的值,并确定n的取值范围.
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【题目】装修大世界出售下列形状的地砖:(1)正三角形;(2)正五边形;(3)正六边形;(4)正八边形;(5)正十边形,若只选购一种地砖镶嵌地面,你有 ___________种选择.
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【题目】一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球,这些小球分别标有数字3,3,5,x,甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球,并计算摸出的这2个球上数字之和,记录后将小球放回袋中搅匀,进行重复实验.实验数据如下表:
(1)如果实验继续进行下去,根据上表数据,出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近,估计出现“和为8”的概率是________;
(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是,那么x的值可以取4吗?请用列表法或画树状图法说明理由;如果x的值不可以取4,请写出一个符合要求的x的值.
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【题目】在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC.请再添加一个条件,使四边形ABCD是矩形.添加的条件不能是( )
A. AB∥DC B. ∠A=90° C. ∠B=90° D. AC=BD
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