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【题目】如图①所示,在△ABC中,点O是AC上一点,过点O的直线与AB,BC的延长线分别相交于点M,N.

【问题引入】

(1)若点O是AC的中点, ,求的值;

温馨提示:过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.

【探索研究】

(2)若点O是AC上任意一点(不与A,C重合),求证:

【拓展应用】

(3)如图②所示,点P是△ABC内任意一点,射线AP,BP,CP分别交BC,AC,AB于点D,E,F.若 ,求的值.

【答案】(1)(2)证明见解析(3)

【解析】试题分析:(1)AGMNBN延长线于点G,ABG∽△MBN,

,同理可证ACG∽△OCN,结合AO=CO,NG=CN,从而由进行求解,

(2),可知: ,

(3)(2)可知,ABD中有, ACD中有,

从而,因此可得: .

(1)解:过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.∵ON∥AG,∴.∵O是AC的中点,∴AO=CO,∴NG=CN.∵MN∥AG,∴.

(2)证明:由(1)可知····1.

(3)解:在△ABD中,点P是AD上一点,过点P的直线与AB,BD的延长线分别相交于点F,C.由(2)可得··1.在△ACD中,过点P的直线与AC,CD的延长线分别相交于点E,B.由(2)可得··1.∴·····×.

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