Question

7．（1）已知2^a=5^b=10，求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的值．
（2）已知2^a=5^b=10^c，证明：ab=ac+bc．

Answer 1

分析 （1）根据积的乘方，可得2^ab×5^ab=（2×5）^ab=10，根据同底数幂的乘法，可得10^a×10^b=10^a+b，根据等式的性质，可得答案．
（2）根据积的乘方，可得指数相同的幂的乘法，根据幂的乘方，可得同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得相同的幂．根据同底数的幂相同，可得指数相同．

解答 解：（1）∵2^a=10，
∴（2^a）^b=10^b，2^ab=10^b①；
∵5^b=10，
∴（5^b）^a=10^a，5^ab=10^b②，
①×②，得
2^ab×5^ab=（2×5）^ab=10^ab，
10^a×10^b=10^a+b，
ab=a+b，
两边都除以ab，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1；

（2）设2^a=5^b=10^c=k，
则 10^ab=2^ab×5^ab=（2^a）^b×（5^b）^a=k^b•k^a=k^a+b，
10^ac+bc=（10^c）^a+b=k^a+b
所以 10^ab=10^ac+bc，
所以 ab=ac+bc．

点评 本题主要考查了幂的乘方与积得乘方，先由积的乘方化成同底数幂的乘法，再由幂的乘方化成同底数的相同的幂求出是解题关键．