Question

【题目】（1）问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是　 　；BD与CF位置关系是　 　．

（2）拓展探究：如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）解决问题：如图3，当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，延长BD交CF于点H．

①求证：BD⊥CF；

②当AB=2，AD=3时，则线段DH的长为　 　．

Answer 1

【答案】（1）BD=CF，BD⊥CF；（2）BD=CF成立，理由详见解析；（3）①详见解析；②DH=．

【解析】

（1）易知，BD=CF，BD⊥CF;（2）先用“SAS”证明△CAF≌△BAD,再用全等三角形的性质即可得BD＝CF成立；（3）利用△HFN与△AND的内角和以及它们的等角，得到∠NHF＝90°,即可得①的结论；连接DF，延长AB，与DF交于点M，利用△BMD∽△FHD求解.

（1）易知，BD=CF，BD⊥CF，

故答案为：BD=CF，BD⊥CF；

（2）如图2中，BD=CF成立．

理由：由旋转得：AC=AB，∠CAF=∠BAD=θ；AF=AD，

在△ABD和△ACF中，，

∴△ABD≌△ACF，

∴BD=CF．

（3）①证明：如图3中，

由（1）得，△ABD≌△ACF，

∴∠HFN=∠ADN，

∵∠HNF=∠AND，∠AND+∠AND=90°

∴∠HFN+∠HNF=90°

∴∠NHF=90°，

∴HD⊥HF，即BD⊥CF．

②如图4中，连接DF，延长AB，与DF交于点M．

∵四边形ADEF是正方形，

∴∠MDA=45°，

∵∠MAD=45°

∴∠MAD=∠MDA，∠AMD=90°，

∴AM=DM，

∵AD=3，

在△MAD中，AM2+DM2=AD2，

∴AM=DM=3，

∴MB=AM﹣AB=3﹣2=1，

在Rt△BMD中，BM2+DM2=BD2，

∴BD==．

在Rt△ADF中，AD=3，

∴DF=AD=6，

由②知，HD⊥HF，

∴∠DHF=∠DMB=90°，

∵∠BDM=∠FDH，

∴△BDM∽△FDH，

∴，

∴DH==．