Question

【题目】1.概念学习.已知，点为其内部一点，连接、、，在、、中，如果存在一个三角形，其内角与的三个内角分别相等，那么就称点为的等角点.

2.理解应用

(1)判断以下两个命题是否为真今题，若为真令题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”.

①内角分别为、、的三角形存在等角点； ；

②任意的三角形都存在等角点; ；

（2）如图①，点是锐角的等角点，若，探究图①中，、、之间的数量关系，并说明理由.

3.解决问题

如图②，在中，，若的三个内角的角平分线的交点是该三角形的等角点，求三角形三个内角的度数.

Answer 1

【答案】（1）真，假；（2）∠BPC＝∠ABC＋∠ACP，证明见解析（3），，．

【解析】

（1）根据等角点的定义，可知内角分别为30、60、90的三角形存在等角点，而等边三角形不存在等角点，据此判断即可；

（2）根据△ABC中，∠BPC＝∠ABP＋∠BAC＋∠ACP以及∠BAC＝∠PBC进行推导，即可得出∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系；

（3）根据△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，以及三角形内角和为180°，得出关于∠A的方程，求得∠A的度数即得出可三角形三个内角的度数．

解：（1）①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点是真命题；

②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；

故答案为：真，假；

（2）∠BPC＝∠ABC＋∠ACP，理由如下：

如图①，

∵在△ABC中，∠BPC＝∠ABP＋∠BAC＋∠ACP，∠BAC＝∠PBC，

∴∠BPC＝∠ABP＋∠PBC＋∠ACP＝∠ABC＋∠ACP；

（3）∵P为△ABC的角平分线的交点，

∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，

∵P为△ABC的等角点，

∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠BAC，∠ACB＝∠BPC＝4∠A，

又∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，

∴∠A＋2∠A＋4∠A＝180°，

∴∠A＝，

∴该三角形三个内角的度数分别为．